FUNCIONES SINUSOIDALES Y COSENOIDALES

FUNCION SINUSOIDAL

·         CONCEPTO

Se entiende por sinusoide u onda sinusoide la función seno o la curva que la representa, en general todos los gráficos de ondas se llaman sinusoides.

Son funciones del tipo senx (seno de x), los que parecen una onda.
Tienen las características de ser continuas (no existe ningún valor de x que haga que seno no exista) y cíclicas, es decir que su forma en un momento dado se vuelve a repetir.

Onda senoidal: También llamada Sinusoidal. Se trata de una señal analógica, puesto que existen infinitos valores entre dos puntos cualquiera del dominio. Así pues, podemos ver en la imagen que la onda describe una curva continua. De hecho, esta onda es la gráfica de la función matemática seno.

·         FORMULA O ECUACION

La sinusoide puede ser descrita por la siguiente fórmula:

A sen (x + y)   ó A sen (2π/T + y)

• GRAFICA

·         ANALISIS GRAFICO

Período (T) en una sinusoide

Es el menor conjunto de valores de X que corresponden a un ciclo completo de valores de la función; en este sentido toda función de una variable que repite sus valores en un ciclo completo es una función periódica.
En las gráficas de las funciones seno-coseno, secante-cosecante el período es 2π, mientras que para la tangente y cotangente el período es π.

Amplitud (A) en una sinusoide

Es el máximo alejamiento en valor absoluto de la curva medida desde el eje X.

Fase (φ) en una sinusoide

La fase da una idea del desplazamiento horizontal de la sinusoide. Si dos sinusoides tienen la misma frecuencia e igual polaridad, se dice que están en fase
Si dos sinusoides tienen la misma frecuencia y distinta polaridad, se dice que están en desfase, y una de las sinusoides está adelantada o atrasada con respecto de la otra.
(No tiene sentido comparar la fase de dos sinusoides con distinta frecuencia, puesto que éstas entran en fase y en desfase periódicamente).

·         PROBLEMAS DE APLICACIÓN

 Movimiento armónico simple.

Un cuerpo está vibrando verticalmente de acuerdo con la ecuación f(t)=8cos (π/3)T,  donde f(t) centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central (el origen) a los  segundos, considerando como sentido positivo hacia arriba. 

ü  Como la amplitud es 8, el máximo desplazamiento es 8cm.

ü  El  período P es 2π/π/3, , es decir P=6.  Por lo tanto,  se requieren 6 segundos para una vibración completa del cuerpo.

ü  Inicialmente, el cuerpo se encuentra 8 cm por arriba del origen, la posición central. En el primer ½ segundo el cuerpo baja 1.1 cm, es decir, se encuentra situado a 6.9cm arriba del origen, etc.

FUNCION COSENOIDAL

En trigonometría el coseno (abreviado cos) se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa: O también como la abscisa correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c = 1). En matemáticas el coseno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes.

Función cosenoidal:

 f(x)=cosx El coseno de un ángulo  es igual al cateto contiguo dividido por la hipotenusa. Se podría decir que es coseno es igual que el seno pero desplazado.  Gráficamente: Para los valores negativos de la variable independiente la gráfica. Discurre por el segundo y tercer cuadrante: Para los valores positivos de la variable independiente la Gráfica discurre por el primer y cuarto cuadrante: Características:- Dominio: D(f)= R - Recorrido: R(f)= [-1,1] - Puntos de corte con los ejes: -Con el eje x: ( /2,0), el corte se repite cada
Con el eje y: (0,1) -Simetría: par; ya que, cos(-x)=cos(x). -Asíntotas: carece de asíntotas. -Monotonía: -Es creciente en el intervalo: [ ,2 ]. -Es decreciente en el intervalo: [0, ]. -Acotación: la función está acotada(1<> cos x -El valor máximo es 1 y se alcanza cada 2 veces -El valor mínimo es (-1) y se alcanza cada 2 veces -La función es continua en todo su dominio. -Es periódica, su periodo es 2

1.   

o    Amplitud: La amplitud de la grafica es 5.

o    Periodo: El periodo de la grafica se da cada 2 π

o    Desplazamiento: A partir de tomar el valor -1 en el Eje Y 0 en ele Eje X, la grafica empieza a desplazarse hacia arriba o hacia abajo, hasta el punto 9 en el Eje Y. Después de llegar al punto mas alto de la grafica, esta adquiere una variación y pasa a desplazarse de nuevo hasta el punto mas bajo de la grafica que es -1 en el Eje Y, el desplazamiento de izquierda a derecha o viceversa, se da dependiendo de los valores que tome X en al función.

o    Variación: Primer cuadrante = En este cuadrante la variación inicia de forma creciente, y luego pasa a ser decreciente, tomando valores positivos en los ejes X y Y,

o    Variación: Segundo cuadrante = Al igual que en el primer cuadrante, se inicia su variación creciente y luego lo inverso. En este cuadrante los valores positivos están únicamente en el Eje Y y los valores negativos en el Eje X.

2.   

o    Variación: Tercer cuadrante = La variación de este cuadrante inicia creciente. Este posee valores únicamente valores negativos en los dos ejes X y Y.

o    Variación: Cuarto Cuadrante = La variación de este cuadrante inicia creciente. Este posee valores negativos en el Eje Y y los valores positivos en el Eje X.

o    Punto Máximo: Los puntos máximos de la grafica están definidos de la siguiente forma: Cuando el Eje Y toma el valor de 9 y el Eje X toma cualquier numero Real . Ejemplo (1 π, 9).

o    Punto Mínimo: Los puntos mínimos de la grafica están definidos de la siguiente forma: Cuando el Eje Y toma el valor de – 1 y el eje X toma cualquier numero Real. Ejemplo (-2 π, -1).

o    Dominio: El dominio es todos los valores que puede tomar el Eje X, estos tienen que pertenecer a los números Reales.

o    Rango: El rango es todos los valores que toma el Eje Y, estos dependen de los valores que tome X. En la grafica el rango esta determinado en [-1,9].

3.    Graficas Cosenoidales.

o    Estas grafica es una señal análoga, puesto que sus valores oscilan en una rama de opciones prácticamente infinitas, así pues podemos ver en la imagen que la onda describe una curva continua, de hecho esta onda es la grafica de la función matemática del Coseno.